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杯中茶叶何去何从?

发布时间:2020-07-17 浏览量:919人次

这篇短文想要讨论的是一个很易发现的现象:以一根汤匙去搅拌一杯泡有一点茶叶的茶水,则最后杯中的茶叶都会集中、聚集在杯底中央。为什幺?

一、以实验室静止观察者的观点看问题

当你用一根汤匙去搅拌一杯水后,杯子中的水会整体转动起来。如果当初搅拌的时候很使劲,杯子中的水转动得特别快,我们还会发现水面中心明显凹陷了下去,而靠近边缘的水位则比较高,整个水面看起来就像是一个碟形天线的形状(如图一所示)。不用怀疑,此时水面与碟形天线的形状真的是同一个模样,我们将之称为抛物面。

杯中茶叶何去何从?

图一 水在杯子中转动,其水面呈下凹状,与碟形天线的形状同一个模样,称为抛物面。(为了展示效果,此图故意将表面凹陷的情况夸大) (作者提供)

为什幺转动中水的表面会呈中心凹陷的抛物面状?这就要从水要如何去维持转动的状态说起。我们知道物体若要做等速圆周运动,则便需要一个向心力,杯子中的一个小水块既然是在绕着杯子的中心轴转动,自然也需要有向心力,而此向心力的来源,是由小水块沿着径向上的内外两侧之水压大小不等来提供(如图二所示)。

杯中茶叶何去何从?

图二 转动中的小水块沿着径向上的内外两侧之水压大小不等,这提供了小水块做等速圆周运动所需要的向心力。(作者提供)

可是水压在径向上怎幺会出现内低外高的现象呢?原来水面之所以会呈现抛物面状的祕密就在这里了:我们在水中某个位置处之所以会感受到水压,其实是因为它上方所有的水之重量累积叠加后压了下来所致,因此只要其正上方之水面越高,则水压就越大。从图二我们可以看出,有了抛物面状的水面,则在同一个高度处沿着径向往外走出去时,其正上方水的深度一定是越来越大,所以水压的分布一定是越往外就越大。

虽然杯中的水整体转动得很一致(几乎就像是一个圆柱体在绕着其中心轴旋转一般),但是接近杯底的水就没办法转那幺快了,原因是日常生活中所接触到的流体都有一个很有趣的特性:和固体接触的流体很喜欢附着、紧贴着固体表面;它会赖在那裏不想流走。由于杯子是静止不动的,杯底当然就没有在转动,所以接近杯底的水就处于一种很尴尬的场面:一方面在它正上方有一大团转动得非常快的水想要带着它一起转动,但另一方面它又因为贴着杯底,事实上是不太能够动的,所以做个妥协,接近底部的水就只好慢慢地转,如图三动画所示。

杯中茶叶何去何从?

图三 接近杯子底部的水转动比较慢 (作者提供)

接下来好玩的事才要上场。接近底部的水根本不可能如图三所示那样慢慢地转动!回想一下:之前不是说过,做等速圆周运动的小水块需要一个向心力来维持其转动吗?既然接近底部的水转得不是很快,它当然不需要很大的向心力。可是抬头看看上方的水面,其所造成的沿着径向上的内外压力差可是很大的 (因为这幺大的压力差才有办法提供给上方转得很快的水足够的向心力) !接近底部的小水块会觉得:自己转动时明明只需要小小的向心力便足矣,但此刻内外两侧的压力差却过大,这就造成力量的不平衡,所以唯一能做的事就是遵守牛顿的运动定律(F=ma),让自己往中心的方向加速过去!因此,接近底部的水一方面会绕着杯子的中心轴慢慢转动,一方面还会往轴心的方向集中流过去,如图四动画所示。

杯中茶叶何去何从?

图四 接近杯子底部的水不但转动比较慢,而且还会往中心轴的方向流过去 (作者提供)

现在我们终于可以回答本文所想解释的现象了。由于泡水的茶叶比较重、会沉到杯底,而杯底的水在往中心轴流过去的时候会带动茶叶,所以如果我们把图四动画中的红色小球视为杯子中的茶叶,则用一根汤匙去搅拌茶水后会发现茶叶最后都往杯底的中心处集中就很容易理解了。

虽然我们已经回答了原始的提问,但以上的叙述还不够完整,因为底部的水不会只是一边慢转、一边往轴心集中而已。为什幺?

我们知道水基本上是不可以压缩的,所以当底部的水往中心轴流过去时,涌进中心处的水一定要有宣洩的管道。这些水没有别的地方可以去,只好沿着中心轴的上方被顶上去(如图五动画所示)。我们把接近底部的水这种一边转、一边往中心流过去,然后还沿着中心轴被往上顶的现象称为二次流副流(secondary flow)。二次流无法一路冲到顶,到了中间某个高度处就后劲无力、只好沿着径向往外散开,然后再沉到底部、回流至杯底。显然地,这整个过程开始複杂起来,当然也就无法在一盏茶的时间中说明白、讲清楚了,所以我们对它的叙述就此打住。

杯中茶叶何去何从?

图五 接近杯子底部的水会一边转、一边往中心流过去,然后还沿着中心轴被往上顶,从而形成所谓的二次流 (作者提供)

此外,你可能也注意到了,既然杯壁是静止不动的,所以虽然大部分的水转得很快,但因为接近杯壁的水只想贴附在杯壁上,自然就无法跟得上大部分水的脚步。靠近杯壁的这个慢速水层接着会藉由黏滞力而逐渐拖累杯子中央其他的水,使大家的转动都变慢、直至完全停止为止。杯子中的水最后之所以不再转动,便是这个缘故。

二、同样的问题、但换不同的视角去看它

如果我们转换观点,改从旋转中的水之座标系来看这个问题,其实也是很有意思的。在这个座标系中,接近表面的大部分水是不动的,但整个杯子却是以反方向疯狂地旋转着,如图六所示。

杯中茶叶何去何从?

图六 改从旋转中的水之座标系来看原问题,则接近表面的大部分水是不动的,但整个杯子却是以反方向疯狂地旋转着。(作者提供)

由于水面呈现外高内低的现象,则如前所述,这些不动的水在径向上当然会受到内外不均的压力差之作用。可是这些水为什幺受到这个力量却仍然都不动?原来是:在转动座标系中,即使是不动的物体都随时会受到一个离心力的作用。对这个座标系的观察者来说,内外不均的压力差刚好是用来和离心力相抗衡的,所以大部分的水就这样处于两力相平衡的状态,因此不动。

但接近杯底的水之命运就不同了。这些水因为贴着往反方向转得很快的杯底,所以它就处于两难的状态:既无法和上方压下来的水层一样不动如泰山,却也无法尽情地随杯底一起转啊转、大跳圆舞曲。于是它採取了折衷的办法─慢速转动(参见图六)。

现在问题就来了,在转动座标系中的一个物体除了随时会受到离心力的作用外,如果它有一个运动速度,则还会多受到一个称为科氏力(Coriolis force)的作用。科氏力与物体的运动速度杯中茶叶何去何从?以及转动座标系本身旋转的角速度杯中茶叶何去何从?都成正比,而其方向则是沿着杯中茶叶何去何从?所指的方向。

对照图六,我们很容易看出:接近杯底的小水块所受到的科氏力是沿着径向、并指向轴心。于是,对转动座标系中的观察者来说,接近杯底的小水块会因为科氏力的作用而往中心流过去(参见图七的动画)。

杯中茶叶何去何从?

图七 对转动座标系中的观察者来说,接近杯底的小水块会因为科氏力的作用而往中心流过去 (作者提供)

如此这般,转动座标系中的观察者就有自己的一套诠释(即科氏力的作用),去解释接近杯底的小水块为什幺会往中心流过去;而就如同前一节所言,惯性座标系的人也有自己的另一套诠释(内外压力差比所需要的向心力大),去说明相同的现象。

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感谢陈义裕老师特地撰写此文。

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